家を借りている被相続人が亡くなった場合、その家には住み続けられなくなる可能性があります。

被相続人とその同居者がその家に住むことができていた法律上の根拠は、あくまで被相続人と貸主の間の賃貸借契約になります。
そして、この契約に基づく被相続人の借主としての地位は、相続をしなければ、同居人に引き継がれることはありません。

相続放棄をしたうえで、その家に住み続けるためには、貸主と自分との間で、新たに賃貸借契約を締結することが考えられます。
もともとその家に住んでいて、賃料の支払いも継続できるというのであれば、貸主としても、賃貸借契約の締結に応じやすいでしょう。
ただし、賃貸借契約は、民法の原則としては、借主の死亡によって当然に終了するわけではありません。
そのため、被相続人が亡くなった後も、他の相続人が、被相続人の賃貸借契約上の地位を相続するという事態もあり得ます。
新たに賃貸借契約を締結するためには、もとの契約をどうするかを含めて、契約書を確認したり、他の相続人と話し合ったりしなければなりません。